这周咱们持重开始熏陶背包问题!

但说真话，背包九讲对于小白来说如实不太友好，看起来照旧有点而已的，况且齐是伪代码证实起来也勤勉。

对于口试的话，其实掌捏01背包，和统共背包，就够用了，最多不错再来一个多重背包。

要是这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

分割等和子集1

至于背包九讲中其他背包，口试险些不会问，齐是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目齐莫得，是以题库也告诉咱们，01背包和统共背包就够用了。

而统共背包又是亦然01背包稍作变化而来，即：统共背包的物品数目是无穷的。

是以背包问题的表面基础重中之重是01背包，一定方式路透!

leetcode上莫得纯01背包的问题，齐是01背包运用方面的题目，也即是需要滚动为01背包问题。

是以我先通过纯01背包问题，把01背包旨趣讲了了，后续再熏陶leetcode题主张时候，要点即是熏陶如何滚动为01背包问题了。

之前可能有些录友照旧不错老成写出背包了，但只须把这个著作仔细看完，驯顺你会无意获利!

有n件物品和一个最多能背分量为w 的背包。第i件物品的分量是weight[i]，获取的价值是value[i] 。每件物品只可用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总额最大。

动态规划-背包问题

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这是法式的背包问题，以至于许多同学看了这个天然就会猜度背包，以致齐不知谈暴力的解法应该若何解了。

这样其实是莫得从底朝上去念念考，而是民风性猜度了背包，那么暴力的解法应该是若何样的呢?

每一件物品其实只好两个情状，取有时不取，是以不错使用回溯法搜索出通盘的情况，那么本事复杂度即是，这里的n暗意物品数目。

是以暴力的解法是指数级别的本事复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!

鄙人面的熏陶中，我举一个例子：

背包最大分量为4。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是若干?

以下熏陶和图示中出现的数字齐是以这个例子为例。

依然动规五部曲分析一波。

笃定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 暗意从下标为[0-i]的物品里自便取，放进容量为j的背包，价值总额最大是若干。

只看这个二维数组的界说，全球一定会有点懵，看底下这个图：

动态规划-背包问题1

要时刻记住这个dp数组的含义，底下的一些方式齐围绕这dp数组的含义进行的，要是那边看懵了，就往还首一下i代表什么，j又代表什么。

笃定递推公式

再追忆一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里自便取，放进容量为j的背包，价值总额最大是若干。

那么不错有两个场地推出来dp[i][j]，

是以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

dp数组如何运行化

对于运行化，一定要和dp数组的界说吻合，不然到递推公式的时候就会越来越乱。

最初从dp[i][j]的界说起程，要是背包容量j为0的话，即dp[i][0]，岂论是登科哪些物品，背包价值总额一定为0。如图：

动态规划-背包问题2

在看其他情况。

情状革新方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 不错看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要运行化。

dp[0][j]，皇冠开户即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很显著当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品分量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放填塞放编号0物品。

代码运行化如下：

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 天然这一步，要是把dp数组事先运行化为0了，这一步就不错不详，但许多同学应该莫得想了了这极少。     dp[0][j] = 0; } // 正序遍历 for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {     dp[0][j] = value[0]; } 

此时dp数组运行化情况如图所示：

动态规划-背包问题7

dp[0][j] 和 dp[i][0] 齐照旧运行化了，那么其他下标应该运行化若干呢?

其实从递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 不错看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标运作为什么数值齐不错，因为齐会被掩盖。

运行-1，运行-2，运行100，齐不错!

但只不外一开始就谐和把dp数组谐和运作为0，更便捷一些。

如图：

动态规划-背包问题10

临了运行化代码如下：

// 运行化 dp vector<vector<int>> dp(weight.size()， vector<int>(bagweight + 1， 0)); for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {     dp[0][j] = value[0]; } 

费了这样大的功夫，才把如何运行化讲了了，驯顺不少同学平常运行化dp数组是凭嗅觉来的，但有时候嗅觉是不靠谱的。

笃定遍历司法

根据可靠消息，乌克兰军队在凌晨发起了对俄军第一道防线的进攻。据目击者称，乌军出动了大批坦克与装甲车，气势汹汹地向俄军阵地推进。然而，俄军早已做好充分准备，他们的阵地布置十分稳固，并且拥有强大的火力支援。

在如下图中，不错看出，有两个遍历的维度：物品与背包分量

动态规划-背包问题3

那么问题来了，先遍历 物品照旧先遍历背包分量呢?

其实齐不错!!然而先遍历物品更好证实。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包分量的代码。

// weight数组的大小 即是物品个数 for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品     for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量         if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];         else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);      } } 

先遍历背包，再遍历物品，亦然不错的!(严防我这里使用的二维dp数组)

例如这样：

// weight数组的大小 即是物品个数 for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量     for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品         if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];         else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);     } } 

为什么亦然不错的呢?

方式路递归的实质和递推的场地。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中不错看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 齐在dp[i][j]的左上角场地(包括正上场地)，那么先遍历物品，再遍历背包的进程如图所示：

动态规划-背包问题5

再来望望先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

动态规划-背包问题6

全球不错看出，固然两个for轮回遍历的次序不同，然而dp[i][j]所需要的数据即是左上角，根柢不影响dp[i][j]公式的推导!

但先遍历物品再遍历背包这个司法更好证实。

其实背包问题里，两个for轮回的先后治安曲直常有负责的，证实遍历司法其实比证实推导公式难多了。

例如推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

动态规划-背包问题4

最终效果即是dp[2][4]。

提议全球此时我方在纸上推导一遍，望望dp数组里每一个数值是不是这样的。

作念动态规划的题目，最佳的进程即是我方在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在开头写代码!

许多同学作念dp题目，遭遇多样问题，然后凭嗅觉东改改西改改，若何改齐别离，有时稀里隐晦就悛改了。

主要即是我方莫得开头推导一下dp数组的演变进程，要是推导分解了，代码写出来就算有问题，只须把dp数组打印出来，对比一下和我方推导的有什么互异，很快就不错发现问题了。

void test_2_wei_bag_problem1() {     vector<int> weight = {1， 3， 4};     vector<int> value = {15， 20， 30};     int bagweight = 4;      // 二维数组     vector<vector<int>> dp(weight.size()， vector<int>(bagweight + 1， 0));      // 运行化     for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {         dp[0][j] = value[0];     }      // weight数组的大小 即是物品个数     for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品         for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量             if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];             else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j]， dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);          }     }      cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl; }  int main() {     test_2_wei_bag_problem1(); } 

讲了这样多才刚刚把二维dp的01背包讲完，这里全球其实不错发现最粗浅的是推导公式了，推导公式预计看一遍就记下来了，但难就难在如何运行化和遍历司法上。

可能有的同学并莫得严防到运行化 和 遍历司法的进攻性，咱们背面作念力扣上背包口试题主张时候，全球就会感受出来了。

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